Cet article présente une caractérisation des graphes pour laquelle le rayon spectral du Laplacien sans signe q₁ est extrémal lorsqu'un invariant de distance est fixé. Pour un diamètre fixé D , le graphe maximal est une bestiole de diamètre D dont les longueurs respectives des chemins pendants sont les plus proches possible. Pour un rayon fixé r, le graphe maximal est, une exception près (r =2), un sac de rayon r. Ces graphes sont les graphes extrêmes des conjectures 21 et 23 de Hansen et Lucas (2010). Pour une valeur de la maille supérieure ou égale à 5 fixée, le graphe qui maximise q₁ est le navet Tu_n,g , et si g est inférieur à la moitié du nombre de sommets du graphe, le graphe qui minimise q₁ est la sucette Lol_n,g .