Groupe d’études et de recherche en analyse des décisions

Un schéma de discrétisation simple pour des processus de diffusion non-négatifs, avec applications en finance mathématique

Chantal Labbé Professeure agrégée, Département de sciences de la décision, HEC Montréal, Canada

L’usage du processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) est répandu en ingénierie financière, principalement dû au fait que c’est un processus stochastique à valeurs non-négatives (une propriété souhaitable pour modéliser, par exemple, les taux d’intérêt). L’utilisation d’un schéma de discrétisation standard de Euler, afin de simuler des trajectoires de ce processus, est problématique, puisque rien n’empêche alors les valeurs simulées d’être négatives. Nous proposons un nouveau schéma produisant, pour des diffusions non-négatives (telles le processus CIR), des processus d’approximation discrets non-négatifs, la non-négativé de ces derniers résultant de l’emploi d’une distribution à valeurs non-négatives lors des simulations, plutôt que la loi normale sur laquelle repose la plupart des schémas présentés dans la littérature pour pallier les problèmes de non-négativité. Un aspect innovateur de notre approche est d’utiliser le problème de martingale pour établir la convergence des processus d’approximation vers la diffusion visée. Il en résulte un schéma facilement adaptable à plusieurs diffusions d’intérêt pratique, et approprié pour tarifer des produits dérivés.