Groupe d’études et de recherche en analyse des décisions

Estimation par densités prédictives : résultats récents

Éric Marchand Université de Sherbrooke, Canada

Pour X,Y dont les lois de probabilité dépendent d’un même paramètre \(\theta\), une densité prédictive est une densité basée sur X qui estime la densité de Y. Avec une fonction de coût donnée, telle la perte Kullback-Leibler, on peut formuler une approche bayésienne et on peut aussi évaluer la performance fréquentiste de densités prédictives en évaluant le coût espéré par rapport à la distribution de X. Une telle problématique a mené, ces dernières années, à plusieurs avancées, notamment en ce qui concerne la performance fréquentiste de densités prédictives bayésiennes pour des modèles de loi normale multivariée ou de loi de Poisson. Un résultat-type est l’inadmissibilité de la meilleure densité prédictive équivariante en trois dimensions ou plus pour X,Y de loi multinormale, de même moyenne \(\theta\) avec matrice de covariance proportionnelle à la matrice identité.

Nous passerons en revue de tels résultats (ex. Komaki 2001; George, Liang, Xu, 2006; Fourdrinier et autres, 2010) pour le modèle normal, pour la perte Kullback-Leibler, avec des aspects touchant l’estimation de Stein, l’estimation sous contraintes paramétriques et la performance d’estimateurs par substitution (plug-in).

Nous présenterons de nouveaux résultats (avec T. Kubokawa et W.E. Strawderman) pour des données de loi normale, mais pour des mélanges de lois normales, avec les pertes L2 et L1 intégrées. Ceci fait intervenir des convolutions, des identités de distance L1 et L2, des pertes duales intéressantes pour l’estimation ponctuelle et l’estimation de Stein pour des pertes concaves.


Entrée gratuite.
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